Please use this identifier to cite or link to this item:
http://dspace.sti.ufcg.edu.br:8080/jspui/handle/riufcg/41790
Title: | Transition type solutions for some classes of quasilinear elliptic Allen-Cahn equations |
Other Titles: | Soluções do tipo transição para algumas classes de equações elípticas quasilineares de Allen-Cahn |
???metadata.dc.creator???: | ISNERI, Renan Jackson Soares. |
???metadata.dc.contributor.advisor1???: | ALVES, Claudianor Oliveira. |
???metadata.dc.contributor.referee1???: | CARVALHO, Marcos Leandro Mendes. |
???metadata.dc.contributor.referee2???: | SILVA, Edcarlos Domingos da. |
???metadata.dc.contributor.referee3???: | FURTADO, Marcelo Fernandes. |
???metadata.dc.contributor.referee4???: | SANTOS, Jefferson Abrantes dos. |
Keywords: | Métodos de minimização;Espaços de Orlicz-Sobolev;Equação de curvatura média prescrita;Equações qusilineares de Allen-Cahn;Soluções do tipo sela;Soluções heteroclínicas;Soluções do tipo transição;Transition-type solutions;Heteroclinic solutions;Saddle solutions;Allen-Cahn qusilinear equations;Prescribed Mean Curvature Equation;Orlicz-Sobolev Spaces;Minimization methods |
Issue Date: | 20-Nov-2023 |
Publisher: | Universidade Federal de Campina Grande |
Citation: | ISNERI, Renan Jackson Soares. Transition type solutions for some classes of quasilinear elliptic Allen-Cahn equation. 2023. 244 f. Tese (Doutorado em Matemática - Programa de Pós-Graduação em Matemática, Centro de Ciências e Tecnologia, Universidade Federal de Campina Grande, Paraíba, Brasil, 2023. |
???metadata.dc.description.resumo???: | O objetivodestateseédesenvolvereestudararicaestruturadoconjuntodesoluções do tipotransiçãodealgumasclassesdeEDPselípticasdaforma −ΔΦu + A(x, y)V ′(u) =0 em R2, (EDP) em que ΔΦ é umoperadorquaselinearnaformadedivergênciaenvolvendoa N-função Φ que nãocrescemaisrapidamentedoquefunçõesexponenciais, A(x, y) é periódico em todososseusargumentose V é umpotencialdepoçoduplocommínimosem t = ±α. Umimportanteprotótipode V é dadopor V (t) =Φ(|t2 − α2|), que foi inspiradonoclássicopotencialdepoçoduplodeGinzburg-Landau.Umadas nossas motivaçõesparaprocurartaissoluçõesderivadeummodeloclássicodeAllen- Cahn detransiçõesdefasequepodeservistocomoumcasomuitoespecialde (EDP). Em nossasinvestigações,taissoluçõessãoobtidasporabordagensvariacionaisusando métodosdeminimizaçãoparaprocurarmínimosdeumfuncionalaçãoemumaclasse razoáveldefunçõesadmissíveiscontidanoespaçousualdeOrlicz-Sobolev W1,Φ loc (R2). Fornecemosdiversaspropriedadesqualitativasequantitativasparaessassoluçõeseuma série dedi culdadestiveramquesersuperadasnanossaabordagem.Porestarazão, foi necessáriodesenvolvernovasestimativasusandoporexemplodesigualdadesdotipo Harnackencontradasem[91], C1,α regularidade porLieberman[67] eumnovoresultado de unicidadeparaumaclassedeEDOsquaselinearesdotipo −(ϕ(|q′|)q′)′ + a(t)V ′(q) =0 em R, (EDO) em que a(t) pertencea L∞(R) e ϕ(t) =Φ′(t)/t para t > 0. Dentreassoluçõesdotipotransição,destacam-senestetrabalhoassoluções heteroclínicasedotiposela.Alémdisso,nestatese,étambémdeparticularinteresse estudar aexistênciadesoluçõesheteroclínicasbásicasparaaequaçãounidimensional relativamentesimples (EDO), ouseja,determinarsoluçõesqueconectamnaturalmente os pontosestacionários ±α e que camentre −α e α. Odesenvolvimentodetais soluçõespara (EDO) servecomosuporteparaaconstruçãodesoluçõesmaiscomplexasde problemas espaciaisdetransiçãodefase.Emparticular,serveparacaracterizaro comportamentoassintóticodasoluçãodotiposelapara (EDP). Por m,discutiremoscomovariantesdoqueacabamosdedescreverpara (EDP) se mantêmigualmentebemparaaequaçãodecurvaturamédiaprescritadotipo −div ∇u p 1 + |∇u|2 ! + A(x, y)V ′(u) =0 em R2. Usando astécnicasdetrucamentoparaooperadordiferencialenvolvidoconstruímos equaçõesauxiliaresdaforma (EDP) para mostrarquetalequaçãotambémpossuiuma rica variedadedesoluçõesdotipotransiçãosemprequeadistânciaentreasraízesdo potencialsimétrico V for pequenae V é semelhantea V (t) =(t2 − α2)2. Não menos importante,forneceremoscondiçõessu cientesparaaexistênciadesoluçõesheteroclínicas básicas paraoseguintemodelounidimensional − q′ p 1 +(q′)2 !′ + a(t)V ′(q) =0 em R. Além disso,resultadosdeunicidadetambémsãoexploradossobcondiçõesapropriadas em a e V . |
Abstract: | The goalofthisthesisistodevelopandstudythestructurerichofthesetof transition typesolutionsofsomeclassesofellipticPDEsoftheform −ΔΦu + A(x, y)V ′(u) =0 in R2, (PDE) where ΔΦ is aquasilinearoperatorindivergenceforminvolvingthe N-function Φ that doesnotincreasemorerapidlythanexponentialfunctions, A(x, y) is periodicinallits argumentsand V is adouble-wellpotentialwithminimaat t = ±α. Animportant prototypeof V is givenby V (t) =Φ(|t2−α2|), whichwasinspiredbytheclassicaldouble- wellGinzburg-Landaupotential.Oneofourmotivationsforlookingforsuchsolutions derivesfromaclassicAllen-Cahnmodelofphasetransitionsthatcanbeseenasavery specialcaseof (PDE). Inourinvestigations,suchsolutionsareobtainedbyvariational approachesusingminimizationmethodstolookforminimaofanactionfunctionalon a reasonableclassofadmissiblefunctionscontainedintheusualOrlicz-Sobolevspace W1,Φ loc (R2). Weprovideseveralqualitativeandquantitativepropertiesforthesesolutions and anumberofdi cultieshadtobeovercomeinourapproach.Forthisreason,it wasnecessarytodevelopnewestimatesbyusingforexampleHarnacktypeinequalities found in[91], C1,α regularitybyLieberman[67] andanewuniquenessresultforaclass of quasilinearODEsofthetype −(ϕ(|q′|)q′)′ + a(t)V ′(q) =0 in R, (ODE) where a(t) belongsto L∞(R) and ϕ(t) =Φ′(t)/t for t > 0. Among thetransitiontypesolutions,heteroclinicandsaddle-typesolutionsstand out inthiswork.Moreover,inthisthesis,itisalsoofparticularinteresttostudythe existence ofbasicheteroclinicsolutionsfortherelativelysimpleone-dimensionalequation (ODE), thatis,todeterminesolutionsthatnaturallyconnectthestationarypoints ±α and thatliebetween −α and α. Thedevelopmentofsuchsolutionsto (ODE) serves as supportfortheconstructionofmorecomplexsolutionsofspatialphase-transition problems. Inparticular,servestocharacterizetheasymptoticbehaviorofthesaddle-type solution for (PDE). Finally,wewilldiscusshowvariantsofwhatwasjustdescribedfor (PDE) hold equally wellforprescribedmeancurvatureequationofthetype −div ∇u p 1 + |∇u|2 ! + A(x, y)V ′(u) =0 in R2. Using thecuttingtechniquesforthedi erentialoperatorinvolvedwebuildauxiliary equations oftheform (PDE) to showthatsuchequationalsohasarichvarietyof transition typesolutionswheneverthedistancebetweentherootsofthesymmetric potential V is smalland V is similarto V (t) =(t2 − α2)2. Not least,wewillprovide su cientconditionsfortheexistenceofbasicheteroclinicsolutionsforthefollowing one-dimensional model − q′ p 1 +(q′)2 !′ + a(t)V ′(q) =0 in R. Moreover,uniquenessresultsarealsoexploredunderappropriateconditionson a and V . |
Keywords: | Métodos de minimização Espaços de Orlicz-Sobolev Equação de curvatura média prescrita Equações qusilineares de Allen-Cahn Soluções do tipo sela Soluções heteroclínicas Soluções do tipo transição Transition-type solutions Heteroclinic solutions Saddle solutions Allen-Cahn qusilinear equations Prescribed Mean Curvature Equation Orlicz-Sobolev Spaces Minimization methods |
???metadata.dc.subject.cnpq???: | Matemática |
URI: | http://dspace.sti.ufcg.edu.br:8080/jspui/handle/riufcg/41790 |
Appears in Collections: | Doutorado em Matemática - PAPGM - UFPB-JP - UFCG |
Files in This Item:
File | Description | Size | Format | |
---|---|---|---|---|
RENAN JACKSON SOARES ISNERI - (PPGMat) 2023.pdf | 3.5 MB | Adobe PDF | View/Open |
Items in DSpace are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.