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Title: Transition type solutions for some classes of quasilinear elliptic Allen-Cahn equations
Other Titles: Soluções do tipo transição para algumas classes de equações elípticas quasilineares de Allen-Cahn
???metadata.dc.creator???: ISNERI, Renan Jackson Soares.
???metadata.dc.contributor.advisor1???: ALVES, Claudianor Oliveira.
???metadata.dc.contributor.referee1???: CARVALHO, Marcos Leandro Mendes.
???metadata.dc.contributor.referee2???: SILVA, Edcarlos Domingos da.
???metadata.dc.contributor.referee3???: FURTADO, Marcelo Fernandes.
???metadata.dc.contributor.referee4???: SANTOS, Jefferson Abrantes dos.
Keywords: Métodos de minimização;Espaços de Orlicz-Sobolev;Equação de curvatura média prescrita;Equações qusilineares de Allen-Cahn;Soluções do tipo sela;Soluções heteroclínicas;Soluções do tipo transição;Transition-type solutions;Heteroclinic solutions;Saddle solutions;Allen-Cahn qusilinear equations;Prescribed Mean Curvature Equation;Orlicz-Sobolev Spaces;Minimization methods
Issue Date: 20-Nov-2023
Publisher: Universidade Federal de Campina Grande
Citation: ISNERI, Renan Jackson Soares. Transition type solutions for some classes of quasilinear elliptic Allen-Cahn equation. 2023. 244 f. Tese (Doutorado em Matemática - Programa de Pós-Graduação em Matemática, Centro de Ciências e Tecnologia, Universidade Federal de Campina Grande, Paraíba, Brasil, 2023.
???metadata.dc.description.resumo???: O objetivodestateseédesenvolvereestudararicaestruturadoconjuntodesoluções do tipotransiçãodealgumasclassesdeEDPselípticasdaforma −ΔΦu + A(x, y)V ′(u) =0 em R2, (EDP) em que ΔΦ é umoperadorquaselinearnaformadedivergênciaenvolvendoa N-função Φ que nãocrescemaisrapidamentedoquefunçõesexponenciais, A(x, y) é periódico em todososseusargumentose V é umpotencialdepoçoduplocommínimosem t = ±α. Umimportanteprotótipode V é dadopor V (t) =Φ(|t2 − α2|), que foi inspiradonoclássicopotencialdepoçoduplodeGinzburg-Landau.Umadas nossas motivaçõesparaprocurartaissoluçõesderivadeummodeloclássicodeAllen- Cahn detransiçõesdefasequepodeservistocomoumcasomuitoespecialde (EDP). Em nossasinvestigações,taissoluçõessãoobtidasporabordagensvariacionaisusando métodosdeminimizaçãoparaprocurarmínimosdeumfuncionalaçãoemumaclasse razoáveldefunçõesadmissíveiscontidanoespaçousualdeOrlicz-Sobolev W1,Φ loc (R2). Fornecemosdiversaspropriedadesqualitativasequantitativasparaessassoluçõeseuma série dedi culdadestiveramquesersuperadasnanossaabordagem.Porestarazão, foi necessáriodesenvolvernovasestimativasusandoporexemplodesigualdadesdotipo Harnackencontradasem[91], C1,α regularidade porLieberman[67] eumnovoresultado de unicidadeparaumaclassedeEDOsquaselinearesdotipo −(ϕ(|q′|)q′)′ + a(t)V ′(q) =0 em R, (EDO) em que a(t) pertencea L∞(R) e ϕ(t) =Φ′(t)/t para t > 0. Dentreassoluçõesdotipotransição,destacam-senestetrabalhoassoluções heteroclínicasedotiposela.Alémdisso,nestatese,étambémdeparticularinteresse estudar aexistênciadesoluçõesheteroclínicasbásicasparaaequaçãounidimensional relativamentesimples (EDO), ouseja,determinarsoluçõesqueconectamnaturalmente os pontosestacionários ±α e que camentre −α e α. Odesenvolvimentodetais soluçõespara (EDO) servecomosuporteparaaconstruçãodesoluçõesmaiscomplexasde problemas espaciaisdetransiçãodefase.Emparticular,serveparacaracterizaro comportamentoassintóticodasoluçãodotiposelapara (EDP). Por m,discutiremoscomovariantesdoqueacabamosdedescreverpara (EDP) se mantêmigualmentebemparaaequaçãodecurvaturamédiaprescritadotipo −div ∇u p 1 + |∇u|2 ! + A(x, y)V ′(u) =0 em R2. Usando astécnicasdetrucamentoparaooperadordiferencialenvolvidoconstruímos equaçõesauxiliaresdaforma (EDP) para mostrarquetalequaçãotambémpossuiuma rica variedadedesoluçõesdotipotransiçãosemprequeadistânciaentreasraízesdo potencialsimétrico V for pequenae V é semelhantea V (t) =(t2 − α2)2. Não menos importante,forneceremoscondiçõessu cientesparaaexistênciadesoluçõesheteroclínicas básicas paraoseguintemodelounidimensional − q′ p 1 +(q′)2 !′ + a(t)V ′(q) =0 em R. Além disso,resultadosdeunicidadetambémsãoexploradossobcondiçõesapropriadas em a e V .
Abstract: The goalofthisthesisistodevelopandstudythestructurerichofthesetof transition typesolutionsofsomeclassesofellipticPDEsoftheform −ΔΦu + A(x, y)V ′(u) =0 in R2, (PDE) where ΔΦ is aquasilinearoperatorindivergenceforminvolvingthe N-function Φ that doesnotincreasemorerapidlythanexponentialfunctions, A(x, y) is periodicinallits argumentsand V is adouble-wellpotentialwithminimaat t = ±α. Animportant prototypeof V is givenby V (t) =Φ(|t2−α2|), whichwasinspiredbytheclassicaldouble- wellGinzburg-Landaupotential.Oneofourmotivationsforlookingforsuchsolutions derivesfromaclassicAllen-Cahnmodelofphasetransitionsthatcanbeseenasavery specialcaseof (PDE). Inourinvestigations,suchsolutionsareobtainedbyvariational approachesusingminimizationmethodstolookforminimaofanactionfunctionalon a reasonableclassofadmissiblefunctionscontainedintheusualOrlicz-Sobolevspace W1,Φ loc (R2). Weprovideseveralqualitativeandquantitativepropertiesforthesesolutions and anumberofdi cultieshadtobeovercomeinourapproach.Forthisreason,it wasnecessarytodevelopnewestimatesbyusingforexampleHarnacktypeinequalities found in[91], C1,α regularitybyLieberman[67] andanewuniquenessresultforaclass of quasilinearODEsofthetype −(ϕ(|q′|)q′)′ + a(t)V ′(q) =0 in R, (ODE) where a(t) belongsto L∞(R) and ϕ(t) =Φ′(t)/t for t > 0. Among thetransitiontypesolutions,heteroclinicandsaddle-typesolutionsstand out inthiswork.Moreover,inthisthesis,itisalsoofparticularinteresttostudythe existence ofbasicheteroclinicsolutionsfortherelativelysimpleone-dimensionalequation (ODE), thatis,todeterminesolutionsthatnaturallyconnectthestationarypoints ±α and thatliebetween −α and α. Thedevelopmentofsuchsolutionsto (ODE) serves as supportfortheconstructionofmorecomplexsolutionsofspatialphase-transition problems. Inparticular,servestocharacterizetheasymptoticbehaviorofthesaddle-type solution for (PDE). Finally,wewilldiscusshowvariantsofwhatwasjustdescribedfor (PDE) hold equally wellforprescribedmeancurvatureequationofthetype −div ∇u p 1 + |∇u|2 ! + A(x, y)V ′(u) =0 in R2. Using thecuttingtechniquesforthedi erentialoperatorinvolvedwebuildauxiliary equations oftheform (PDE) to showthatsuchequationalsohasarichvarietyof transition typesolutionswheneverthedistancebetweentherootsofthesymmetric potential V is smalland V is similarto V (t) =(t2 − α2)2. Not least,wewillprovide su cientconditionsfortheexistenceofbasicheteroclinicsolutionsforthefollowing one-dimensional model − q′ p 1 +(q′)2 !′ + a(t)V ′(q) =0 in R. Moreover,uniquenessresultsarealsoexploredunderappropriateconditionson a and V .
Keywords: Métodos de minimização
Espaços de Orlicz-Sobolev
Equação de curvatura média prescrita
Equações qusilineares de Allen-Cahn
Soluções do tipo sela
Soluções heteroclínicas
Soluções do tipo transição
Transition-type solutions
Heteroclinic solutions
Saddle solutions
Allen-Cahn qusilinear equations
Prescribed Mean Curvature Equation
Orlicz-Sobolev Spaces
Minimization methods
???metadata.dc.subject.cnpq???: Matemática
URI: http://dspace.sti.ufcg.edu.br:8080/jspui/handle/riufcg/41790
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